资格证笔试中求极限的常用方法(二)

　　华图教师通过分析历年教师资格证考试的笔试真题，发现高等数学中的求极限出现的频率极高，多出现在选择题中。虽然考察的难度不大，但是由于对高等数学知识的掌握不够牢固，当考生遇到求极限的问题往往比较困惑，没有清晰的解题思路。

　　极限是高等数学中最重要、最基本的内容之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的，因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至无从下手，通过归纳总结，华图教师团队罗列出了一些常用的求法。本文主要对数学分析中求极限的方法进行一定的总结。

　　1、利用洛必达法则求极限

　　洛必达法则：假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数和满足：(1)和的极限都是0或都是无穷大;

　　(2)和都可导，且的导数不为0;

　　(3)存在(或是无穷大);

　　则极限也一定存在，且等于，即=。

　　利用这一法则的前提是：函数的导数要存在;为0/0型或者型等未定式类型。

　　洛必达法则分为三种情况：0/0，型的直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(无穷大与无穷小成倒数关系时)通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成(1)中形式了;00，1∞，∞0，对于这类(指数,幂函数)形式的，主要是取对数的方法，把幂函数指数位置的函数移下来，就写成0与无穷的形式了。

　　需注意的是,要看将代入式中时，原式是否为不定式，如果不是，就不能使用此法则;在重复使用此法则时，必须每步都作检查，一旦发现不是不定式就要停止使用。

　　例题1：求

　　解析：

　　。

　　例题2：求

　　解析：原式，(连续两次使用洛必达法则)。

　　例题3：(1)“”型：

　　(2)“”型：

　　(3)“”型：

　　(4)“”型：求

　　(5)“”型：求.

　　解析：(1)原式.

　　(2)，

　　故原式。

　　(3)原式。

　　(4)原式。

　　(5)原式，

　　而，因此：原式=1。

　　2、用泰勒展式来求极限

　　用此法必须熟记基本初等函数的展开式，它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形，有时可用项的泰勒展开式来代替该项，使运算十分简便。

　　泰勒中值定理定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有

　　+(-)+(-)+……+(-)+()

　　其中，这里是与之间的某个值。

　　例题1：利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限。

　　解析：由于公式的分母，我们只需将分子中的代入计算，

　　于是，对上式做运算时，把两个高阶的无穷小的代数和还是记作。

　　例题2：求

　　解析：泰勒展开式有

　　，所以

　　则。

　　3、利用定积分求极限

　　定积分是一个有特殊结构和式子的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限。若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。凡每一项可提1/n，而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式，一般可用定积分的定义去求。

　　利用定积分可求如下二种形式的极限：

　　一、设在[0,1]上可积，则有

　　二、设在[0,1]上可积，则有

　　例题1：求

　　解析:=

　　设,则在[0,1]内连续，所以

　　则原式=。

　　例题2：求

　　解析：，令，则有：

　　。

　　4、利用无穷小求极限

　　在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积，仍是无穷小量。利用这两个定理可以求出某些函数的极限。

　　当时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有：

　　～～～～～～。

　　例题:求(1)(2)

　　解析：(1)原式。

　　(2)当时,,，而此时,,

　　所以原式=。

　　以上就是华图教师团队对教师资格证笔试中求极限常用方法的总结，广大考生在求极限时，首先观察数列或函数的形式。选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。以上方法希望能够对广大考生复习备考有所帮助。

　　最后，华图教师祝您乘华图翅膀，早日圆教师梦!